[영상처리] 이산 푸리에 변환

허수의 의미

허수의 존재 의미에 대하여 - 공돌이의 수학정리노트

요약 : 양수만 있을 때 수는 그저 스칼라였다. 18세기에 음수 개념이 도입되며, 수는 양의 방향(+), 음의 방향(-)과 크기로 표현되는 1차원 벡터개념이 되었다. 현대에 와서는 허수 i가 수를 2차원으로 확장했다. 2 + 3i 같은 수를 표현하기 위해 허수 축을 그은것이다. 이 좌표계를 복소평면이라 하고 2 + 3i는 (2, 3)으로 표현할 수 있다. 

 

 

정현파란 무엇인가

페이저(phasor) - 공돌이의 수학정리노트

요약 : 고등학교 때 배웠던 삼각함수는 반지름이 1인 원 위에서의 각의 회전과 관련이 있다. 따라서 수를 2차원으로 정의한 복소평면(극좌표)를 사용한다면 삼각함수, 그 중에서도 사인파 함수를 표현할 수 있을 것이다. 이것을 페이저라고 한다.

 

 

이산 푸리에 변환 & 영상처리

Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용

요약 : 이산 푸리에 변환은 어떤 신호든 주기함수와 그 계수들의 합으로 표현할 수 있다는 것을 의미. 각각 다른 주파수를 갖는 주기함수들을 적절히 계수를 통해서 강도를 조절해, 어떤 신호든지 표현이 가능하다. 그렇다면 각 주기함수들을 신호를 생성하는 직교 기저로 볼 수 있다. 이 때, 특정 주파수를 갖는 함수의 계수가 궁금하다면, 입력신호와 해당 주파수 주기함수끼리 내적을 해보면 알 수 있다.

 

이미지 배열을 신호라고 생각한다면, 2D 사인파 주기함수들과 그 계수의 합으로 각 픽셀 값을 표현할 수 있을 것이다. 이미지 배열을 이렇게 해서 표현하는 이유가 무엇일까? 이미지 배열의 푸리에 변환을 통해 얻은 계수는 복소수이며 이를 복소평면에 극좌표로 나타낼 수 있다. 이 때 원점과의 거리를 스펙트럼(spectrum, magnitude)라고 하고, 시초선과 이루는 각도를 페이즈(phase, angle)이라고 한다.

 

여기서 스펙트럼은 계수의 크기와 관련이 있기 때문에, 이미지에 해당 주파수의 주기함수가 얼마나 강하게 들어있는지 의미한다. 페이즈는 해당 주기함수 성분의 시작점을 정해준다. 같은 크기, 같은 주파수 주기함수를 더한다 하더라도 각 주기함수를 조금씩 평행이동해서 더하면 값이 달라지므로 페이즈도 꽤 중요한 정보를 갖는다.

 

 

실제 적용