[물리학개론] 1차원에서의 운동

운동학(Kinematics), 동역학(Dynamics)

운동학이라는 말의 어원은 운동을 뜻하는 그리스어 kinema이 다(영화를 뜻하는 cinema도 같은 어원을 갖는다). 운동학은 시간에 따른 물체의 위치를 기술하지만 운동의 원인은 고려하지 않는다. 운동의 원인과 결과에 대해 연구하는 분야를 동역학이라고 한다. 여기서는 1차원에서의 운동을 운동학의 관점에서 보려고한다.

 

 

기준틀, 좌표계, 변위

달리는 차 안에서 공을 위로 던지면, 차 안에서 공을 던진 사람은 공이 수직으로 올라갔다 내려오는 운동을 했다고 관측할 것이다. 하지만, 차 밖에 있는 사람은 공의 위치만 봤을 때, 공이 올라가며 차의 진행방향으로도 수평 운동한 것으로 관측한다. 운동은 분명히 한 가지이지만, 관측자들은 다르게 볼 수 있기 때문에 각 관측자의 위치와 운동상태를 정확히 알아야 한다. 위와 같은 상황을 서로 다른 '기준틀' 안에 있다고 한다. 기준틀은 땅이나, 달리는 차와 같이 물체의 위치와 운동의 기준으로 삼고자 하는 물리적 실체이다.

 

이 기준틀 안에서 정확한 위치를 나타내기 위해서 도입하는 개념이 좌표계이다. N 차원에서는 최소 N개의 숫자가 필요하고, 보통 직각 좌표계를 사용한다. 직각이어야 어떤 좌표를 축에 평행하게 움직였을 때, 다른 축의 좌표가 같이 변하지 않기 때문이다. 좌표축의 0이 만나는 점을 원점이라고 하고, 위치는 원점과의 거리와 +, -를 통해 정의한다.

 

변위는 위치의 변화량이다. 변위 = 나중위치 - 처음위치 (△x = x_f - x_i )로 정의할 수 있다. 식을 보면 변위는 음, 양의 부호가 생길 수 있다. 이는 거리와 다른 점(거리는 항상 양수)이기도 하다. 신기하게도 좌표계의 원점을 바꾸면, 위치가 다른 값으로 정의되고, 이에 따라 변위의 값이 달라질 것 같은데 변위는 원점의 위치에 전혀 영향을 받지 않는다. 

 

 

 

속력, 속도, 가속도

속력 = 거리 / 시간 = (움직인 거리) / (경과한 시간)
속도 = 변위 / 시간 = (위치1 - 위치2) / (시간1 - 시간2)

 

속력은 우리가 흔히 사용하는 개념으로 실제로 그 순간에 얼마나 빠르게 움직였는지를 표현할 수 있다. 
속도는 반면에 변위, 즉 결과적인 위치의 차이를 가지고 이야기하며 음양의 부호에는 방향이 표현된다. 가로축을 시간으로, 세로축을 변위로 둔다면, A부터 B까지의 속도는 그래프에서의 점 A와 점 B를 연결한 직선의 기울기가 될 것이다.

 

고등학교 때 배운 미분에서와 비슷한 개념으로 이해해보자면, A부터 B까지의 속도는 평균변화율을 의미한다면, 평균변화율에서의 두 점 A와 B를 lim_B→A으로 보낸다면, 값은 A에서의 순간변화율을 나타낼 것이다. 과외학생에게도 10번도 더 했던 말이다. '미분계수나, 순간변화율이나, 접선의 기울기나 다 같은 말이야'. 결국 그래프의 어떤 점에서의 접선의 기울기가 순간속도를 의미한다.

 

가속도는 속도의 변화율을 의미한다. 
가속도 = (속도1 - 속도2) / (시간1 - 시간2) 이고, 여기서 시간 간격을 극한으로 0으로 보내면 순간가속도를 정의할 수 있다. 단위로는 속도의 단위(m/s) / 시간 단위(s) = m/s²를 사용한다.

 

변위를 시간에 대해 미분하면 속도, 속도를 시간에 대해 미분하면 가속도이다.
반대로 가속도의 그래프를 정적분하면 속도, 속도 그래프를 정적분하면 변위가 된다.

 

 

 

등가속도 운동

공기의 저항이 무시될 때의 물체를 자유낙하 시키면 어떻게 될까? 물체의 속도가 일정하게 증가하게 된다. 이렇게 속도가 일정하게 증가하는, 즉 가속도가 일정한 운동을 등가속도 운동이라고 한다. 아래는 등가속도 운동의 (v-t)그래프이다. 

위 그림에서 t1 부터 t2 까지의 속도를 정의 한다면, (속도 = 변위 / 시간)이므로, 변위는 아래 도형의 넓이로 사각형 ABCD의 삼각형 BCE의 합으로 찾는다. 위 그래프를 이용해 등가속도 운동에서의 위치는 다음과 같이 공식으로 표현할 수 있다. 자세한 과정은 식의 변화를 보며, 그래프와 대조해 보길 바란다.

변위 = 도형의 넓이
위치 - 처음위치 = 평균 속도 × 걸린시간
위치 - 처음위치 = (처음속도 + 나중속도)/2 × 걸린시간
위치 - 처음위치 = (처음속도 + 처음속도 + 가속도×걸린시간)/2 × 걸린시간
x     -  x0         = ( v0        +  v0         + a       × t         )/2 ×   t

중간에 나중속도 = (처음속도+ 가속도×걸린시간)/2 로 표현한 부분만 잠깐 설명하자면, 등가속도 운동이기 때문에 가속도는 상수함수의 모양을 띄고, at는 그래프 아래 넓이를 적분한 속도의 변화량을 나타낸다. v = v0 + at. 이 식을 t에 대해 정리하여 위의 식에 대입하면, 경과한 시간을 모르더라도 운동 거리, 속도, 가속도 등을 계산할 수 있는 공식을 유도할 수 있다.

 

참고 : 기초물리학(기초물리학 교재편찬 위원회)